Модель Блэка-Шоулза: Что это, как она работает и формула опционов
Модель Блэка-Шоулза, также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), является одной из наиболее важных концепций в современной финансовой теории. Это математическое уравнение оценивает теоретическую стоимость деривативов на основе других инвестиционных инструментов, учитывая влияние времени и других факторов риска. Разработанная в 1973 году, она по-прежнему считается одним из лучших способов оценки опционного контракта.
Ключевые выводы
Модель Блэка-Шоулза, также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM), является дифференциальным уравнением, которое широко используется для оценки опционных контрактов.
Для модели Блэка-Шоулза требуется пять входных переменных: цена исполнения опциона, текущая цена акций, время до истечения срока действия, безрисковая процентная ставка и волатильность.
Хотя модель Блэка-Шоулза обычно точна, она делает определенные допущения, которые могут привести к прогнозам, отклоняющимся от реальных результатов.
Стандартная модель BSM используется только для оценки европейских опционов, поскольку она не учитывает, что американские опционы могут быть исполнены до даты истечения срока действия.
История модели Блэка-Шоулза
Разработанная в 1973 году Фишером Блэком, Робертом Мертоном и Майроном Шоулзом, модель Блэка-Шоулза была первым широко используемым математическим методом для расчета теоретической стоимости опционного контракта с использованием текущих цен на акции, ожидаемых дивидендов, цены исполнения опциона, ожидаемых процентных ставок, времени до истечения срока действия и ожидаемой волатильности.
Первоначальное уравнение было представлено в статье Блэка и Шоулза 1973 года «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», опубликованной в журнале Journal of Political Economy. Роберт С. Мертон помогал редактировать эту статью. Позже в том же году он опубликовал свою собственную статью «Theory of Rational Option Pricing» в журнале The Bell Journal of Economics and Management Science, расширив математическое понимание и применение модели, а также придумав термин «теория ценообразования опционов Блэка-Шоулза».
В 1997 году Шоулз и Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам за свою работу по «нахождению нового метода определения стоимости деривативов». Блэк скончался двумя годами ранее, поэтому не мог стать лауреатом, так как Нобелевские премии не присуждаются посмертно; однако Нобелевский комитет признал его роль в модели Блэка-Шоулза.
Как работает модель Блэка-Шоулза
Модель Блэка-Шоулза предполагает, что такие инструменты, как акции или фьючерсные контракты, будут иметь логнормальное распределение цен, следуя случайному блужданию с постоянным дрейфом и волатильностью. Используя это предположение и учитывая другие важные переменные, уравнение выводит цену опциона типа «колл».
Уравнение Блэка-Шоулза требует шести переменных. Эти входные данные — волатильность, цена базового актива, цена исполнения опциона, время до истечения срока действия опциона, безрисковая процентная ставка и тип опциона (колл или пут). Имея эти переменные, продавцы опционов теоретически могут устанавливать рациональные цены на опционы, которые они продают.
Более того, модель предсказывает, что цена активно торгуемых активов следует геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом и волатильностью. Применительно к опциону на акции модель учитывает постоянное изменение цены акции, временную стоимость денег, цену исполнения опциона и время до истечения срока действия опциона.
Предположения модели Блэка-Шоулза
Модель Блэка-Шоулза делает определенные допущения:
В течение срока действия опциона не выплачиваются дивиденды.
Рынки являются случайными (т.е. движения рынка не могут быть предсказаны).
Нет транзакционных издержек при покупке опциона.
Безрисковая процентная ставка и волатильность базового актива известны и постоянны.
Доходность базового актива имеет нормальное распределение.
Опцион является европейским и может быть исполнен только по истечении срока действия.
В то время как исходная модель Блэка-Шоулза не учитывала влияние выплачиваемых дивидендов в течение срока действия опциона, модель часто адаптируется для учета дивидендов путем определения стоимости базовой акции без дивидендов. Модель также модифицируется многими продавцами опционов на рынке, чтобы учесть влияние опционов, которые могут быть исполнены до истечения срока действия.
В качестве альтернативы, для ценообразования более распространенных американских опционов фирмы будут использовать биномиальную или триномиальную модель или модель Бьерксунда-Стенсленда.
Формула модели Блэка-Шоулза
Математика, используемая в формуле, сложна и может быть пугающей. К счастью, вам не нужно знать или даже понимать математику, чтобы использовать моделирование Блэка-Шоулза в своих собственных стратегиях. Трейдеры опционов имеют доступ к различным онлайн-калькуляторам опционов, а многие современные торговые платформы обладают мощными инструментами анализа опционов, включая индикаторы и электронные таблицы, которые выполняют расчеты и выводят значения цен опционов.
Формула колл-опциона Блэка-Шоулза рассчитывается путем умножения цены акции на кумулятивную функцию распределения стандартного нормального распределения. Затем из полученного значения предыдущего расчета вычитается приведенная стоимость цены исполнения, умноженная на кумулятивную функцию распределения стандартного нормального распределения.
C = цена колл-опциона
S = текущая цена акции (или другого базового актива)
K = цена исполнения
r = безрисковая процентная ставка
t = время до погашения
N = нормальное распределение
Скев волатильности
Модель Блэка-Шоулза предполагает, что цены акций следуют логнормальному распределению, поскольку цены активов не могут быть отрицательными (они ограничены нулем).
Часто наблюдается, что цены активов имеют значительный правый перекос и некоторую степень курtosis (толстые хвосты). Это означает, что резкие нисходящие движения часто случаются на рынке чаще, чем предсказывает нормальное распределение.
Предположение о логнормальном распределении цен базового актива должно показывать, что подразумеваемые волатильности для каждой цены исполнения одинаковы в соответствии с моделью Блэка-Шоулза. Однако с момента краха фондового рынка 1987 года подразумеваемые волатильности для опционов «в деньгах» были ниже, чем для опционов, находящихся дальше «вне денег» или глубоко «в деньгах». Причина этого явления заключается в том, что рынок учитывает большую вероятность сильного нисходящего движения волатильности на рынках.
Это привело к появлению перекоса волатильности. Когда подразумеваемые волатильности для опционов с одинаковым сроком погашения отображаются на графике, можно увидеть форму улыбки или перекоса. Таким образом, модель Блэка-Шоулза неэффективна для расчета подразумеваемой волатильности.
Модель Блэка-Шоулза часто противопоставляется биномиальной модели или модели Монте-Карло.
Преимущества и недостатки модели Блэка-Шоулза
Преимущества
Служит стабильной основой, основанной на определенном методе.
Позволяет инвесторам снижать риски за счет лучшего понимания подверженности.
Может быть использован для разработки стратегий создания портфеля на основе предпочтений инвестора.
Упрощает и улучшает эффективное вычисление и отчетность по цифрам.
Недостатки
Не учитывает все типы
Вопросы и ответы
Что такое модель Блэка-Шоулза?
Модель Блэка-Шоулза — это математическая модель, используемая для оценки опционов. Она была разработана Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 году и является одной из наиболее широко используемых моделей оценки опционов в мире.
Как работает модель Блэка-Шоулза?
Модель Блэка-Шоулза основана на ряде допущений, таких как:
Рынок является эффективным.
Базовый актив не выплачивает дивиденды.
Волатильность базового актива постоянна.
Процентные ставки постоянны.
Модель использует эти допущения для расчета теоретической цены опциона в любой момент времени.
Какова формула опционов Блэка-Шоулза?
Формула опционов Блэка-Шоулза выглядит следующим образом:
C = S * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)
где:
C — цена колл-опциона
S — цена базового актива
X — цена исполнения
r — безрисковая процентная ставка
t — время до истечения опциона
N(d1) и N(d2) — кумулятивное нормальное распределение
Каковы ограничения модели Блэка-Шоулза?
Модель Блэка-Шоулза имеет ряд ограничений, таких как:
Она основана на ряде допущений, которые могут не соответствовать реальности.
Она не учитывает все факторы, которые могут влиять на цену опциона, такие как ликвидность рынка и психологические факторы.
Она не может быть использована для оценки всех типов опционов, таких как опционы на фьючерсы или опционы на валюту.
Каковы преимущества модели Блэка-Шоулза?
Модель Блэка-Шоулза имеет ряд преимуществ, таких как:
Она проста в использовании.
Она предоставляет теоретическую цену опциона, которая может быть использована для сравнения с рыночной ценой.
Она является основой для многих других моделей оценки опционов.
Где можно узнать больше о модели Блэка-Шоулза?
Существует множество ресурсов, где можно узнать больше о модели Блэка-Шоулза, таких как:
