Биномиальное распределение: Определение, формула, анализ и пример

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это статистическое распределение, которое описывает вероятность того, что величина примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.

Основные предположения биномиального распределения:

• Для каждого испытания существует только один исход.
• Каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха.
• Испытания являются взаимоисключающими или независимыми друг от друга.

Биномиальное распределение — это дискретное распределение, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение.

Биномиальное распределение часто используется в статистике социальных наук в качестве строительного блока для моделей для дихотомических переменных результата, таких как:

• Будет ли республиканец или демократ побеждать на предстоящих выборах.
• Умрет ли человек в течение определенного периода времени.

Биномиальное распределение также имеет применение в финансах, банковском деле и страховании.

Анализ биномиального распределения:

• Ожидаемое значение биномиального распределения (среднее) рассчитывается путем умножения количества испытаний (n) на вероятность успеха (p), или n × p.
• Например, ожидаемое значение количества выпадений орла в 100 испытаниях с орлом или решкой равно 50, или (100 × 0,5).
• Функция биномиального распределения рассчитывается как:

P(x : n, p) = nCx * p^x * (1 - p)^(n - x)

• Где:

  • n — количество испытаний (случаев)
  • x — количество успешных испытаний
  • p — вероятность успеха в одном испытании
  • nCx — комбинация n и x. Комбинация — это количество способов выбрать выборку из x элементов из набора из n различных объектов, где порядок не имеет значения, а повторы не допускаются. Обратите внимание, что nCx = n! / r! (n — r)!), где ! — факториал (так, 4! = 4 × 3 × 2 × 1).

• Среднее значение биномиального распределения равно np, а дисперсия биномиального распределения равна np(1 — p).

• Когда p = 0,5, распределение симметрично относительно среднего значения, например, при подбрасывании монеты, поскольку вероятность выпадения орла или решки составляет 50% или 0,5.

• Когда p > 0,5, кривая распределения смещена влево.

• Когда p < 0,5, кривая распределения смещена вправо.

• Биномиальное распределение — это сумма ряда независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли.

• В испытании Бернулли эксперимент считается случайным и может иметь только два возможных исхода: успех или неудача.

Пример биномиального распределения:

• Биномиальное распределение рассчитывается путем умножения вероятности успеха в степени количества успехов на вероятность неудачи в степени разницы между количеством успехов и количеством испытаний.

• Затем умножьте произведение на комбинацию количества испытаний и успехов.

• Например, предположим, что казино создало новую игру, в которой участники могут делать ставки на количество выпадений орла или решки в определенном количестве подбрасываний монеты.

• Предположим, что участник хочет сделать ставку в размере 10 долларов на то, что в 20 подбрасываниях монеты выпадет ровно шесть орлов.

• Участник хочет рассчитать вероятность этого события, и поэтому он использует расчет для биномиального распределения.

• Вероятность была рассчитана как (20! / (6! × (20 — 6)!)) × (0,50)^6 × (1 — 0,50)^(20 — 6).

• Следовательно, вероятность выпадения ровно шести орлов в 20 подбрасываниях монеты составляет 0,0369, или 3,7%.

• Ожидаемое значение в этом случае составляло 10 выпадений орла, поэтому участник сделал неудачную ставку.

• На графике ниже показано, что среднее значение равно 10 (ожидаемое значение), а вероятность выпадения шести орлов находится в левом хвосте красного цвета.

• Вы можете видеть, что вероятность выпадения шести орлов меньше, чем семи, восьми, девяти, 10, 11, 12 или 13 орлов.

Заключение

Биномиальное распределение — это важное статистическое распределение, которое описывает бинарные исходы (например, подбрасывание монеты, ответ «да/нет» или условие «вкл/выкл»). Понимание его характеристик и функций важно для анализа данных в различных контекстах, когда результат принимает одно из двух независимых значений.

Оно имеет применение в социальных науках, финансах, банковском деле, страховании и других областях.